Fractional uncertain principle

semyon dyatlov的一篇文章

semyon dyatlov的文章https://arxiv.org/pdf/1710.05430.pdf,用fractional uncertainly priciple导出了hyperbolic surface上测地线诱导的zeta函数在Re(s)>1-\epsilon只有有限个零点。

 

就我的理解,这件事情至少和3个事情有关系,

1.p-adic上的黎曼猜想,因为这篇文章的证明强烈依赖于markov性质,这和p adic的结构也很像,有可能可以利用p adic猜想的证明思路继续做一部分。

 

2.billiard的传播子,但是这里不一样,文章中的 Schottky groups本质上是对于算子的逆写成一种级数形式其中级数由Schottky group生成,但是对于billiard传播子的情况所有的涉及的热核或者波核的paramatrix不仅仅具备markov性质,起主导作用的却是某种需要X-ray估计的性质,级数和并不是对全空间求而是某种截断了的子空间里面,所以比这个证明要难。建立起billiard的传播子估计是证明inverse spectral problem的重要一步。

 

3.interval exchange map,但是interval exchange map的结构就好只有这里的traslation,这里有一个像的大小的指数衰减,这是interval exchange map所没有的。interval exchage map可能还需要涉及到一个拆分估计,会更难,这可能可以在interval exchange map上的sarnak猜想有进展。

 

下面讲一下我对文章证明主要思路的理解:首先对于hyperbolic空间H^2/{\Gamma} 我们用poincare的方式来理解为 D mod掉一个作用,那么极限集\Lambda_{\Gamma} 就是基本域在分式线性变换下在D的边界下的极限点。

关键是建立如下估计 \int_{\Lambda_{\Gamma}}exp (i\xi\phi(x)) g(x) d\mu(x)\leq C|\xi|^{−\epsilon_1} \forall \xi, |\xi| > 1.

为了建立这个估计,我们做的事情是:

1.研究极限集\Lambda_{\Gamma} 的结构,本质上具备某种组合上的树结构,在分式线性变换下树的上方和下方交换,而且对于象有指数级别的衰减,这很像连分数展开中的otrowoski表示。对于分式线性变换和Schottky group作用的体积形变估计是容易得到的。

2.Patterson–Sullivan测度\mu 是在\Gamma 作用下的遍历测度,特别的,和 \Gamma 是compatible的,所以变量代换公式成立:

 \int_{\Lambda_{\Gamma}} f(x)d\mu(x) =\int_{\Lambda_{\Gamma}}f(\gamma(x))|\gamma'(x)|_{\delta}^B d\mu(x) \forall \gamma \in \Gamma

这个很重要,一旦我们能够找到I :=\amalg_{b\in \Omega} I_b, 实际这可以导出一个关于f的方程:

 L_Zf(x) = \sum_{a\in Z,a\to b} f(\gamma_{a′}(x))w_{a′}(x), x ∈ I_b.

我们关心的selberg zeta函数的零点就等于方程特征值1对应的特征函数: L_zf(x)=f(x) .

(这一点很重要而且在很多问题中都有用,至少有几个例子:1.有的时候一个椭圆方程的特征值很难做,转而去考察他的发展方程。2.很多数论问题,特别是质数在某些partition集合里面的分布,对于对应的L函数的动力系统的刻画就需要这个方程)

3. 文章中3.1.是bourgain的主要贡献,是所谓的sum-product现象在这里的一个引用,为了得到foriour衰减性估计,我们需要不断拆散区间,实际上在树的每一层上面我们都很清楚怎么把这一层的积分拆散到上一层和下一层,这实际上可以看成一个renormelization方程:

  \int_{\Lambda_{\Gamma}}f d\mu =\int_{\Lambda_{\Gamma}}L_{Z(\tau)}^{2k+1} f d\mu = \sum_{A,B,A\leftrightarrow B}f(\gamma_{A∗B}(x))w_{A∗B}(x)d\mu(x).

1中的形变估计(只需要估计一下交叉项带来的误差)告诉我们:  | \int_{}fdμ|^2 ≤C\tau^{(2k−1)\delta}\sum_{A,B,A\leftrightarrow B} |\int_{I_b(A)} e^{iξ\phi(\gamma_{A∗B}(x))}w_{a′_k} (x)d\mu(x)| ^2 +C\tau^2 .

然后在x点taylor展开用围道积分得到误差项,误差项用1中的形变估计得到上界控制,主项放到一起得到:

  |\int_{\Lambda_{\Gamma}} f d\mu|^2 ≤ C\tau^{(2k+1)\delta}\sum_A sup_{\eta\in J_{\tau}}| e^{2πi\eta\xi_{1,A} (b_1)···\xi_{k,A} (b_k )}| + C\tau^{\delta/4}. (*)

最后为了用bourgain的sum-product现象得到的引理3.3来控制(*)RHS,我们需要对 R ⊂ Z(τ) ^{k+1} Z(τ)^{k+1}-R 分段估计,前者是用正则性导致的收敛速度快,后者shi用minkowki维数很小,前者估计已经建立,所以只需对Z(τ)^{k+1}-R 建立minkoski维数上界估计,这是显然的。

这样我们就建立好了如下估计:

  \int_{\Lambda_{\Gamma}}exp ( i\xi\phi(x)) g(x) d\mu(x) ≤ C|\xi|^{−\epsilon_1} \forall \xi, |\xi| > 1.

这个估计是用来建立fractional uncertain principle的关键,一旦我们有了fractional uncertain principle,hyperbolic surface上测地线诱导的zeta函数在Re(s)>\frac{1}{2}-epsilon只有有限个零点就只是一个fix point theorem的argument。

另外一个不需要用sum-product现象的极为简单的证明见[1710.05430] Fractal uncertainty for transfer operators。

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